Rappels sur les oscillateurs harmoniques amortis en régime forcé

Présentation du problème

        Le mouvement d'un oscillateur harmonique amorti est décrit par l'équation différentielle :
        où est le coefficient d'amortissement visqueux, la pulsation propre du système etl'excitation extérieure.

Oscillations libres non amorties

        En l'absence d'amortissement et d'excitation extérieure, on est ramené à l'équation :
        Le système effectue alors des oscillations sinusoïdales à la pulsation  à partir des conditions initiales.

Oscillations libres amorties pour des faibles amortissements

        En l'absence d'excitation extérieure, si l'amortissement visqueux est non nul, on a :
        Dans le cas où , l'équation caractéristique de cette équation différentielle possède des racines complexes. La solution générale du mouvement s'écrit :
        où et  sont des constantes qui dépendent des conditions initiales. Le mouvement est donc sinusoïdal, exponentiellement amorti de pseudo période :

Oscillations forcées. Résonance

        Supposons que l'oscillateur harmonique amorti est soumis à une excitation extérieure de pulsation :
        Après un régime transitoire amorti (solution de l'équation différentielle sans second membre, étudiée au paragraphe précédent) qui tend à disparaître, un régime permanent oscillatoire s'établit :
de même pulsation que celle de l'excitation extérieure. En reportant dans l'équation différentielle, on peut montrer que l'amplitude des oscillations forcées vérifie :
        L'amplitudepasse donc par un maximum et ce pour la valeur .
        Sur la figure suivante, on a tracé la variation de avec ainsi que les diverses pulsations caractéristiques de l'oscillateur.
        Dans le cas général, la pulsation de résonance de l'amplitude n'est donc pas égale à la pulsation d'oscillation en l'absence d'amortissement. Cependant si << , les résultats précédents démontrent que les corrections sur les pulsations de résonance sont faibles.

Références :
[1]    "Ondes", chapitres 2 et 3, cours de physique de Berkeley
[2]    "Problèmes résolus de mécanique du point", chapitre 5, Lumbroso

Retour à la page de présentation
Retour à la page "exemples de résultats"
Retour au sommaire "Physique numérique"